Frases celebres 3

Si he conseguido ver más lejos, es porque me he aupado en hombros de gigantes. No se lo que pareceré a los ojos del mundo, pero a los míos es como si hubiese sido un muchacho que juega en la orilla del mar y se divierte de tanto en tanto encontrando un guijarro más pulido o una concha más hermosa, mientras el inmenso océano de la verdad se extendía, inexplorado frente a mi.

Isaac Newton (1642-1727)

Sesostris... dividió las tierras de Egipto entre sus habitantes... Si el río se llevaba una parte de la porción asignada a un hombre... el rey enviaba a otras personas para examinar y determinar, por medio de una medición, la extensión exacta de la pérdida... A partir de esta práctica, creo yo, es como se llegó al conocimiento de la geometría en Egipto en primer lugar, de donde pasó más tarde a Grecia.

Herotodo

La filosofía está escrita en ese grandísimo libro abierto ante los ojos; quiero decir, el universo, pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto.

Galileo Galilei.

La geometría es una ciencia del conocimiento del ser, pero no de lo que está sujeto a la generación y a la muerte. La geometría es una ciencia de lo que siempre es.

Platón

Fraces celebres 2

Para Tales... la cuestión primaria no era qué sabemos, sino cómo lo sabemos.(Aristóteles.)


La geometría es una ciencia del conocimiento del ser, pero no de lo que está sujeto a la generación y a la muerte. La geometría es una ciencia de lo que siempre es. (Platón)


Si he conseguido ver más lejos, es porque me he aupado en hombros de gigantes.
No se lo que pareceré a los ojos del mundo, pero a los míos es como si
hubiese sido un muchacho que juega en la orilla del mar y se divierte de tanto en tanto encontrando un guijarro más pulido o una concha más hermosa, mientras el inmenso océano de la verdad se extendía, inexplorado frente a mi. (Isaac Newton
(1642-1727))


¿Por qué las cosas son como son y no de otra manera? (Johannes Kepler (1571-1630))


La filosofía está escrita en ese grandísimo libro abierto ante los ojos; quiero decir, el universo, pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, a conocer los caracteres en los que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto. (Galileo Galilei.)


No podemos resolver problemas usando el mismo tipo de pensamiento que usamos cuando los cremos. (Albert Einstein (1879-1955) )


No entiendes realmente algo a menos que seas capaz de explicarselo a tu abuela. (Albert Einstein (1879-1955))


La Filosofía es el amor a la sabiduría. (Pitágoras)

semejanza detriangulos

TRIANGULOS SEMEJANTES

GAUSS

GAUSS

Niño prodigio de clase obrera que llegó a ser el mejor matemático de su tiempo. Todavía hoy, dos siglos después de su nacimiento, sus ideas y sus innovadores métodos siguen siendo actuales. Su personalidad era contradictoria, era un hombre frío y concentrado en su trabajo, un perfeccionista que no admitía que sus trabajos fuesen publicados antes de que estuviesen totalmente pulidos y revisados.

Sobre la infancia de Gauss se cuentan innumerables anécdotas sobre su temprana genialidad (él mismo solía decir que había aprendido ha contar antes que hablar ). Una de las historias más famosas es que cuando tenía diez años, estando en clase de aritmética, su profesor propuso el problema de sumar los cien primeros números naturales 1+2+3…….+100. Mientras que todos los alumnos se devanaban los sesos con la interminable suma, Gauss (que descubrió el camino rápido) escribió un sólo número en su pizarra ante la perplejidad del profesor. Como podéis suponer Gauss fue el único que dio la respuesta correcta. Por lo que el profesor le regaló un libro de aritmética que Gauss leyó (y corrigió) rápidamente.

A lo largo de la historia ha habido varios niños prodigio en matemáticas pero la mayoría se limitaban a una gran capacidad de cálculo, sin embargo, Gauss iba mas allá, alcanzando elevadas cotas de razonamiento, invención e innovación.

Gauss estudió Matemáticas y llegó a ser catedrático de Matemáticas de Kazán, catedrático de Astronomía de Gotinga. Se interesó e hizo descubrimientos en casi todas las ramas de las Matemáticas.

ERATÓSTENES

ERATÓSTENES

Eratóstenes (c. 284-c. 192 a.C.), matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y poeta griego. Fue el primero que midió con buena exactitud el meridiano terrestre. Para ello ideó un sistema a partir de la semejanza de triángulos. Erastótenes midió en primer lugar la distancia entre dos ciudades egipcias que se encuentran en el mismo meridiano: Siene (Assuán) y Alejandría.

Esto lo hizo a partir del tiempo que tardaban los camellos en ir de una ciudad a otra.

Después se dio cuenta que el día del solsticio de verano a las 12 del mediodía el Sol alumbraba el fondo de un pozo muy profundo en la ciudad de Siene y que a esa misma hora el sol proyectaba una sombra en Alejandría. A raíz de esta circunstancia determinó, calculando el radio de la Tierra, que la longitud del meridiano debía ser 50 veces mayor que la distancia entre las ciudades. El resultado que obtuvo Erastótenes para el meridiano, en medidas modernas, viene a ser 46.250 km., cifra que excede a la medida real sólo en un 16%. Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un error de sólo 7' de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general. Tras quedarse ciego, murió en Alejandría por inanición voluntaria.

Arquimides

ARQUÍMEDES

Arquímedes (287-212 a.C.), Se le considera padre de la ciencia mecánica y el científico y matemático más importante de la edad antigua. Tuvieron que pasar casi dos mil años para que apareciese un científico comparable con él: Isaac Newton.

En el campo de las Matemáticas puras su obra más importante fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe; por esta razón mandó Arquímedes que sobre su tumba figurase una esfera inscrita en un cilindro.

A él le debemos inventos como la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo. También a él se le ocurrió usar grandes espejos para incendiar a distancia los barcos enemigos.

¡ Eureka, eureka ¡ ¡Lo encontré!

Eso es lo que dicen que gritó un día el sabio Arquímedes mientras daba saltos desnudo en la bañera. No era para menos. Ayudaría ( a él y a todos nosotros después) a medir el volumen de los cuerpos por irregulares que fueran sus formas.

Medir volúmenes de cuerpos regulares (un cubo, por ejemplo) era algo que ya se sabía hacer en la época de Arquímedes, pero con volúmenes de formas irregulares (una corona, una joya, el cuerpo humano) nadie lo había conseguido.

Hasta que Arquímedes se dio cuenta de que cuando entraba en una bañera llena de agua hasta el mismo borde, se derramaba una cantidad de agua. Y tuvo la idea: si podía medir el volumen de ese agua derramada habría hallado el volumen de su propio cuerpo.

En el año 212 a.C., Siracusa fue conquistada por los romanos. Un grupo de soldados romanos irrumpió en la casa de Arquímedes al que encontraron absorto trazando en la arena complicadas figuras geométricas. "No tangere circulos meos" (No toquéis mis círculos), exclamó Arquímedes en su mal latín cuando uno de los soldados pisó sobre sus figuras. En respuesta, el soldado traspasó con su espada el cuerpo del anciano Arquímedes.

Ejersicios de semejanza AA

Triángulos rectángulos y Triángulos semejántes

Frases celebres

Saber es acordarse. Aristoteles


Dadme un punto de apoyo y levantare al mundo. Arquimedes.


No se como seria la III guerra mundial pero la IV seria con piedras. Albert Einstein


Los que renuncian son más numerosos que los que fracasan. Henry Ford


"Ande yo caliente y ríase la gente". Luis de Argote


¿No es increible todo lo que puede tener dentro un lápiz?. Guille

triángulos semejantes

Triangulos Semejantes

Triangulos Semejantes

Ejercicio triángulos semejantes

Pruebese que el triángulo AOB es semejante al triángulo A'OB'

Ejercicio de proporcionalidad de triángulos

Encontrar el valor de X

Ejercicios de proporcionalidad

*Calcular el término desconocido de las siguientes proporciones:

1

2

3

4

5

*11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

* Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

*De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje?

*Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento?

Teoremas de la semejanza LLL y LAL

Teorema 9.12 o teorema de la semejanza LLL: si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

Teorema 9.13 o teorema de la semejanza LAL: si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo, y si los lados correspondientes que incluyen al ángulo son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Triángulos rectangulos y triángulos semejantes

Teorema 9.10: En un triángulo, la longitud de la altura a la hipotenusa es la media geométrica entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa.

Teorema 9.11: Dados un triángulo rectángulo y la altura a la hipotenusa, cada cáteto es la media geométrica entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del segmento de la hipotenusa adyacente al cateto.

El postulado de la semejanza AAA

Postulado AAA: si tres ángulos de un triángulo son congruentes con los tres ángulos de otro triángulo son semejantes.

Teorema 9.8 o teorema de semejanza AA: si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los triangulos son semejantes.

Teorema 9.9: dos triángulos son semejantes si un ángulo agudo de uno es congruente con un ángulo del otro.

Poligonos semejantes

Dos poligonos son semejantes si hay una correspondencia entre los vértices tal que los ángulos correspondientes sean congruentes y los lados correspondientes sean proporcionales.

Teorema fundamental de la proporcionalidad

Teorema 9.6
Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalmente.

Teorema 9.7
Si una recta interseca a dos lados de un triangulo y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado.

Proporciones

Una proporción es una igualdad  entre dos razones , y aparece frecuentemente en notación fraccionaria.

Teorema 9.1
 2   =  6 , entonces 2 x 15 = 5 x 6
 5      15

Teorema 9.2
2   =  6
 5      15 , entonces 2+5   =  6+15
                                  5          15

Teorema 9.3
2   =  6
 5      15 , entonces 2-5   =  6-15
                                 5          15

Teorema 9.4
2   =  6
 5      15,entonces  2   =  5
                              6      15

Teorema 9.5
2 x 15 = 5 x 6, entonces 2   =  6
 5      15

Estrabon

Estrabón (Amasia, Ponto, 64 o 63 a. C. – 19 y 24 d. C.) fue un geógrafo e historiador griego conocido principalmente por su obra Geografía.
Fue un gran viajero que, aprovechando la paz romana, recorrió casi todas las tierras de la ecúmene, llegando a Armenia en oriente, hasta Cerdeña en occidente, y desde el Mar Euxino (Mar Negro) en el norte hasta los límites de Etiopía en el sur. Recorrió el Nilo hasta Asuán en una expedición dirigida por Elio Galo, prefecto romano de Egipto.
De él se conservan únicamente algunos fragmentos de su trabajo histórico, sus Memorias históricas, en 43 libros, complemento de la historia del griego Polibio. En cambio sí se recoge casi por completo su magna obra Geografica (Geografía), la cual se fecha entre los años 29 a. C., en que da comienzo su periplo, hasta el año 7. Consta de 17 volúmenes de una descripción detallada del mundo tal como se conoció en la antigüedad y poseen un gran valor, sobre todo como informe, por sus propias y extensas observaciones. Interesa señalar que el tercero de ellos lo dedica a Iberia y lo que en él se dice fue recopilado de otras fuentes, sobre todo de Posidonio, ya que Estrabón nunca estuvo en la Península Ibérica. En la Geografía puede verse un mapa de Europa.
Como geógrafo descriptivo rechazó la obra de los geógrafos matemáticos como Eratóstenes de Cirene o Hiparco de Nicea por su carácter puramente astronómico o cartográfico. Esto le llevó a una despreocupación por las causas físicas de los fenómenos naturales, centrándose en los aspectos humanos, la historia y los mitos para componer un retrato de las gentes y los países que estudiaba.

Heródoto

Heródoto de Halicarnaso (en griego Ἡρόδοτος Ἁλικαρνᾱσσεύς) fue un historiador y geógrafo griego que vivió entre el 484 y el 425 a. C.
División de la obra
En la antigüedad las obras se conservaban en rollos de papiro. El texto de las obras se distribuía en varios rollos, de longitud más o menos similar, y teniendo en cuenta su división por capítulos, pero no coincidía con la separación temática original. La tendencia era armar rollos de 6 o 7 metros, que formasen un cilindro de 5 a 6 cm de diámetro, cómodos para llevar en la mano.
Hay fuertes indicaciones de que originalmente Heródoto ofreció su obra como una colección de 28 temas, llamados en griego logoi. Su extensión sería la adecuada para la recitación pública.^{[2] [3]}
La división original sería la siguiente:

• Libro 1
  • Logo1: historia de Creso (1.1-94)
    • texto: Candaules, su esposa,^[4] y Giges
    • texto: la historia de Arion
  • Logo 2: surge Ciro el Grande (1.95-140)
  • Logo 3: acontecimientos en Babilonia y Persia (1.141-216)
    • texto: toma de Babilonia

• Libro 2
  • Logo 4: geografía de Egipto (2.1-34)
  • Logo 5: costumbres y animales de Egipto (2.35-99)
    • texto: costumbres egipcias
    • texto: el hipopótamo
    • texto: la momificación
  • Logo 6: historia de Egipto (2.100-182)
    • texto: el bajorrelieve de Sesostris

• Libro 3
  • Logo 7: Conquista de Egipto por Cambises (3.1-60)
    • texto: los cráneos de Pelusio
    • texto: la locura de Cambises
  • Logo 8: los golpes de los Magos y de Darío (3.61-119, 126-141, 150-160)
    • texto: lista de satrapías
    • texto: las hormigas extractoras de oro
    • texto: los bordes de la Tierra
    • texto: final de Intafrenes
    • texto: el manto de Siloson
    • texto: la toma de Babilonia
  • Logo 9: acontecimientos en Samos (3.39-60, 120-125, 142-149)

• Libro 4
  • Logo 10: país y costumbres de los Escitas (4.1-82)
    • texto: la circunnavegación de África
  • Logo 11: campaña persa contra los escitas (4.83-144)
  • Logo 12: conquista persa de Libia (4.145-205)
    • texto: los Nasamones (4.172-173)

• Libro 5
  • Logo 13: conquista persa de Tracia (5.1-28)
  • Logo 14: comienzos de la rebelión Jonia; sucesos en Esparta (5.28-55)
    • texto: historia de Dorieo
    • texto: el Camino Real
  • Logo 15: sucesos en Atenas (5.55-96)
  • Logo 16: la Revuelta jónica (5.97-126)

• Libro 6
  • Logo 17: reconquista persa de Jonia (6.1-42)
  • Logo 18: sucesos en Grecia (6.43-93)
    • texto: la historia de Glauco
  • Logo 19: batalla de Batalla de Maratón (6.94-140)

• Libro 7
  • Logo 20: preparativos persas (7.1-55)
    • texto: estirpe de Jerjes
    • texto: canal de Jerjes
    • texto: Jerjes en Abidos
  • Logo 21: los persas cruzan a Europa (7.56-137)
  • Logo 22: Batalla de las Termópilas (7.138-239)
    • texto: espías griegos en Sardes
    • texto: Batalla de Hímera
    • texto: topografía de Termópilas
    • texto: Batalla de las Termópilas

• Libro 8
  • Logo 23: batalla naval de Artemisio (8.1-39)
  • Logo 24: batalla naval de Batalla de Salamina (8.40-96)
  • Logo 25: invierno del 480 (8.97-144)
    • texto: el reino de Macedonia

• Libro 9
  • Logo 26: batalla de Platea (9.1-89)
  • Logo 27: liberación de Jonia (9.90-113)
  • Logo 28: fundación del imperio ateniense (9.114-122)

Eratóstenes

Eratóstenes (griego antiguo Ἐρατοσθένης) (Cirene, 276 a. C.^[1] - Alejandría, 194 a. C.) fue un matemático, astrónomo y geógrafo griego, de origen probablemente caldeo.
Eratóstenes era hijo de Aglaos. Estudió en Alejandría y, durante algún tiempo en Atenas .Fue discípulo de Aristón de Quíos, de Lisanias de Cirene y del poeta Calímaco , y también gran amigo de Arquímedes. En el año 236 antes de Cristo Ptolomeo III de Egipto le llamó para que se hiciera cargo de la Biblioteca de Alejandría, puesto que ocupó hasta el fin de sus días. Suidas afirma que, tras perder la vista, se dejó morir de hambre a la edad de ochenta años; sin embargo, Luciano afirma que llegó a la edad de ochenta y dos, y Censorino sostiene que falleció cuando tenía ochenta y dos.
Eratóstenes poseía una gran variedad de conocimientos y aptitudes para el estudio. Astrónomo, poeta, geógrafo y filósofo, su apellido fue Pentathlos, nombre que se reservaba al atleta vencedor en las cinco competiciones de los Juegos Olímpicos. Suidas afirma que también era conocido como el segundo Platón, y diversos autores dicen que se le daba el sobrenombre de Beta, por la segunda letra del alfabeto griego, porque ocupó el segundo lugar en todas las ramas de la ciencia que cultivó.
Medición de las dimensiones de la Tierra

En el solsticio de verano los rayos solares inciden perpendicularmente sobre Siena. En Alejandría, más al norte, midiendo la altura de un edificio y la longitud de la sombra que proyecta, se puede determinar el ángulo formado con el plano de la eclíptica, en el que se encuentran el Sol y la ciudad de Siena, ángulo que es precisamente la diferencia de latitud entre ambas ciudades. Conocida ésta, basta medir el arco de circunferencia y extrapolar el resultado a la circunferencia completa (360º).

Reconstrucción del siglo XIX del mapa de Eratóstenes del mundo conocido en su época.

Sin embargo, el principal motivo de su celebridad, es sin duda la determinación del tamaño de la Tierra. Para ello inventó y empleó un método trigonométrico, además de las nociones de latitud y longitud, al parecer ya introducidas por Dicearco, por lo que bien merece el título de padre de la geodesia. Por referencias obtenidas de un papiro de su biblioteca, sabía que en Siena (hoy Asuán, en Egipto) el día del solsticio de verano los objetos no proyectaban sombra alguna y la luz alumbraba el fondo de los pozos; esto significaba que la ciudad estaba situada justamente sobre la línea del trópico, y su latitud era igual a la de la eclíptica que ya conocía. Eratóstenes, suponiendo que Siena y Alejandría tenían la misma longitud (realmente distan 3º) y que el Sol se encontraba tan alejado de la Tierra que sus rayos podían suponerse paralelos, midió la sombra en Alejandría el mismo día del solsticio de verano al mediodía, demostrando que el cenit de la ciudad distaba 1/50 parte de la circunferencia, es decir, 7º 12' del de Alejandría; según Cleomedes, para el cálculo de dicha cantidad, Eratóstenes se sirvió del scaphium o gnomon (un proto-cuadrante solar). Posteriormente, tomó la distancia estimada por las caravanas que comerciaban entre ambas ciudades, aunque bien pudo obtener el dato en la propia Biblioteca de Alejandría, fijándola en 5,000 estadios, de donde dedujo que la circunferencia de la Tierra era de 250.000 estadios, resultado que posteriormente elevó hasta 252.000 estadios, de modo que a cada grado correspondieran 700 estadios. También se afirma que Eratóstenes, para calcular la distancia entre las dos ciudades, se valió de un regimiento de soldados que diera pasos de tamaño uniforme y los contara.
Admitiendo que Eratóstenes usó el estadio de 185 m, el error cometido fue de 6.616 kilómetros (alrededor del 17%). Sin embargo, hay quien defiende que usó el estadio egipcio (300 codos de 52,4 cm), en cuyo caso la circunferencia polar calculada hubiera sido de 39.614,4 km, frente a los 40.008 km considerados en la actualidad, es decir, un error de menos del 1%.
Acerca de la exactitud de los cálculos realizados por Eratóstenes se han escrito varios trabajos; en uno de ellos, Dennis Rawlins argumenta que el único dato que Eratóstenes obtuvo directamente fue la inclinación del cenit de Alejandría, con un error de 7' (7 minutos de arco), mientras que el resto, de fuentes desconocidas, resultan ser de una exactitud notablemente superior. 150 años más tarde, Posidonio rehizo el cálculo de Eratóstenes y obtuvo una circunferencia sensiblemente menor, valor que adoptaría Ptolomeo y en el que se basaría Cristóbal Colón para justificar la viabilidad del viaje a las Indias por occidente. Quizá con las mediciones de Eratóstenes el viaje no se habría llegado a realizar, al menos en aquella época y con aquellos medios, y seguramente sea ése el error que más ha influido en la historia de la humanidad.
El trabajo de Eratóstenes es considerado por algunos el primer intento científico en medir las dimensiones de nuestro planeta,^[2] ya que otros cálculos fueron hechos y perfeccionados siglos después por estudiosos tales como el califa Al-Mamun y Jean François Fernel.
El geómetra no se limitó a hacer este cálculo, sino que también llegó a calcular la distancia Tierra-Sol en 804 millones de estadios (139.996.500 km) y la distancia Tierra-Luna en 708.000 estadios (123.280,500 km). Estos errores son admisibles, debido a la carencia de tecnología adecuada y precisa.

Euclides

Euclides (en griego Ευκλείδης, Eukleides) fue un matemático y geómetra griego(ca. 325 - ca. 265 a. C.). Se le conoce como "El Padre de la Geometría".
Su obra Los elementos, es una de las obras científicas más conocidas del mundo y era una recopilación del conocimiento impartido en el centro académico. En ella se presenta de manera formal, partiendo únicamente de cinco postulados, el estudio de las propiedades de líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos, etc.; es decir, de las formas regulares. Probablemente ninguno de los resultados de "Los elementos" haya sido demostrado por primera vez por Euclides pero la organización del material y su exposición, sin duda alguna se deben a él. De hecho hay mucha evidencia de que Euclides usó libros de texto anteriores cuando escribía los elementos ya que presenta un gran número de definiciones que no son usadas, tales como la de un oblongo, un rombo y un romboide. Los teoremas de Euclides son los que generalmente se aprenden en la escuela moderna. Por citar algunos de los más conocidos:

• La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
• En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.

En los libros VII, VIII y IX de los Elementos se estudia la teoría de la divisibilidad.
La geometría de Euclides, además de ser un poderoso instrumento de razonamiento deductivo, ha sido extremadamente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Desde luego, es muy útil en las matemáticas. Inspirados por la armonía de la presentación de Euclides, en el siglo II se formuló la teoría ptolemaica del Universo, según la cual la Tierra es el centro del Universo, y los planetas, la Luna y el Sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas, o sea circunferencias y combinaciones de circunferencias. Sin embargo, las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene grosor, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene espesor, no tiene altura, por lo que tiene dimensión dos: ancho y largo. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene dimensión tres: largo, ancho y alto. Euclides intentó resumir todo el saber matemático en su libro Los elementos. La geometría de Euclides fue una obra que perduró sin variaciones hasta el siglo XIX.
De los axiomas de partida, solamente el de las paralelas parecía menos evidente. Diversos autores intentaron sin éxito prescindir de dicho axioma intentándolo colegir del resto de axiomas.
Finalmente, algunos autores crearon geometrías nuevas basándose en invalidar o sustituir el axioma de las paralelas, dando origen a las "geometrías no euclidianas". Dichas geometrías tienen como característica principal que al cambiar el axioma de las paralelas los ángulos de un triángulo ya no suman 180 grados.

Pitagoras

Pitágoras de Samos (aproximadamente 582 a. C. - 507 a. C., en griego: Πυθαγόρας ο Σάμιος) fue un filósofo y matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica y no sólo al mismo Pitágoras. Afirmaba que todo es matemáticas, y estudió y clasificó los números.
Los pitagóricos atribuían todos sus descubrimientos a Pitágoras por lo que es difícil determinar con exactitud cuales resultados son obra del maestro y cuales de los discípulos.

Los números pentagonales son un ejemplo de números figurados.

Entre los descubrimientos que se atribuyen a la escuela de Pitágoras están:^[2]

• Una prueba del teorema de Pitágoras. Si bien los pitagóricos no descubrieron este teorema (ya era conocido y aplicado en Babilonia y la India desde hacía un tiempo considerable), sí fueron los primeros en encontrar una demostración formal del teorema. También demostraron el converso del teorema (si los lados de un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el triángulo es recto).
• Ternas pitagóricas. Una terna pitagórica es una terna de números enteros (a, b, c) tales que a² + b² = c². Aunque los babilonios ya sabían cómo generar tales ternas en ciertos casos, los pitagóricos extendieron el estudio del tema encontrando resultados como cualquier entero impar es miembro de una terna pitagórica primitiva. Sin embargo, la solución completa del problema no se obtuvo hasta el siglo XIII cuando Fibonacci encontró la forma de generar todas las ternas pitagóricas posibles.^[3]
• Sólidos regulares. Los pitagóricos descubrieron el dodecaedro y demostraron que sólo existen 5 poliedros regulares.
• Números perfectos. Estudiaron los números perfectos, es decir aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores propios (por ejemplo 6=1+2+3). Encontraron una fórmula para obtener ciertos números perfectos pares.
• Números amigables. Un par de números son amigables si cada uno es igual a la suma de los divisores propios del otro. Jámblico atribuye a Pitágoras haber descubierto el par amigable (220, 284).
• Números irracionales. El descubrimiento de que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un cociente de números enteros marca el descubrimiento de los números irracionales.
• Medias. Los pitagóricos estudiaron la relación entre las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números y obtuvieron la relación .
• Números figurados. Un número es figurado (triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.) si tal número de guijarros se pueden acomodar formando el polígono correspondiente con lados 1,2,3, etc.

Tipos de Geometría

Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran:

Geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana.

Geometría plana La geometría plana es una parte de la geometría que trata de        aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclidiana, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones.

 Geometría espacial La geometría espacial o geometría del espacio es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de las figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, los poliedros regulares (los sólidos platónicos, convexos, y los sólidos de Kepler-Poinsot, no convexos) y otros poliedros.

Geometría no euclidiana a cualquier forma de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado Elementos. No existe un sólo tipo de geometría no euclídea, sino muchos, aunque si se restringe la discusión a espacios homogéneos, en los que la curvatura del espacio la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles pueden distinguirse tres tipos de geometrías:

• La geometría euclideana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.
• La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.
• La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.

Geometría riemanniana es el estudio de las variedades diferenciales con métricas de Riemann; es decir de una aplicación que a cada punto de la variedad, le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, aplicación que varía suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre otras magnitudes) ángulo, longitud de curvas, y volumen. A partir de éstas, pueden obtenerse otras magnitudes por integración de las magnitudes locales.

Geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.

Geometría diferencial es el estudio de la geometría usando las herramientas del análisis matemático. Los objetos de estudio de este campo son las variedades diferenciables (tal y como la topología diferencial) tanto como las nociones de conexión y curvatura (que no se estudia en la topología diferencial).

Geometría proyectiva Se llama geometría proyectiva a una estructura matemática que estudia las incidencias de puntos y rectas sin tener en cuenta la medida. A menudo se usa esta palabra también para hablar de la teoría de la proyección que en realidad se llama geometría proyectiva.

Geometría descriptiva es un conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional y, por tanto, resolver en dos dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del proceso a través de la adecuada lectura.

Geometría de incidencia Una geometría es una estructura algebraica con al menos tres tipos de axiomas:

• ordenación
• incidencia
• congruencia

Se llama geometría de incidencia a aquella estructura que carece de axiomas de congruencia. Entre otras cosas, la falta de estos axiomas nos impedirá comparar segmentos y establecer una métrica

Geometría de dimensiones bajas (topología de dimensiones bajas) es el área de la topología y la topología algebraica que estudia problemas geométricos, topológicos y algebraicos que surgen en el estudio de variedades de dimensiones menores que 5, espacios localmente homeomorfos a los espacios euclídeos, desde dimensión cero hasta la cuarta. Sus métodos están inspirados en la geometría y la topología de fenómenos físicos inclusive relativistas y cuánticos e idealizaciones abstractas modernas sobre el concepto de dimensiones: destacadamente y prominentemente, en tres y cuatro dimensiones.

Geometría sagrada La Geometria Sagrada es un concepto planteado por el esoterismo y el gnosticismo. La creencia básica es que existen ciertas relaciones entre la geometría y la matemática y la espiritualidad, Dios y diversos conceptos místicos.